Question

已知f（x）=x³-x+1，则

lim

△x→0

f(1+△x)-f(△x)

2△x

=（　　）

• A．-1
• B．-

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：根据极限的定义建立和导数之间的关系，然后求导即可．

解答：解：因为f（x）=x³-x+1，所以f（0）=1，f（1）=1，即f（1）=f（0）=1．且f'（x）=3x²-1．
因为

lim

△x→0

f(1+△x)-f(△x)

2△x

=

lim?

△x→0

f(1+△x)-f(1)+f(0)-f(△x)

2△x

=

lim?

△x→0

f(1+△x)-f(1)-[f(△x)-f(0)]

2△x

=

lim?

△x→0

f(1+△x)-f(1)

2△x

-

lim

△x→0

f(0+△x)-f(0)

2△x

=

1

2

f′(1)-

1

2

f′(0)．
所以f'（1）=3-1=2，f'（0）=-1，
所以

lim

△x→0

f(1+△x)-f(△x)

2△x

=

1

2

×2-

1

2

×(-1)=

3

2

，
故选C．

点评：本题注意考查极限和导数的关系，将极限形式转化为导数的定义形式是解决本题的关键．