Question

已知函数
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并用函数单调性定义加以证明；
（Ⅱ）若f（x）在上的值域是，求a的值；
（Ⅲ）当m，n∈（0，+∞），若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）定义法证明函数的单调性；
（2）f（x）在上单调递增，值域是，则；
（3）f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），，方程ax²-x+a=0有两个不等正实数根x₁，x₂，可得答案．
解答：解：（1）证明：设x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∵=，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在上单调递增，∴，易得．
（3）依题意得
又∵0＜m＜n，∴方程ax²-x+a=0有两个不等正实数根x₁，x₂
又∵a＞0，对称轴
∴实数a的取值范围为．
点评：本题为函数单调性的证明，并利用单调性来解决问题，把方程有两实根转化为二次函数问题是解决问题的关键，属中档题．