题目内容

设f(x)=lg,若0≤a≤1,n∈N*且n≥2,求证:f(2x)≥2f(x).

分析：该题证法很多,在此只给出用柯西不等式证明的过程.先要把要证结论进行等价转化,使之出现柯西不等式的结构.

证明：要证明f(2x)≥2f(x)

n［12x+22x+…+(n-1)2x+an2x］≥［1x+2x+…+(n-1)x+anx］2.                             ①

∵a≥a2,根据柯西不等式,得

式①左边≥{(1x)2+(2x)2+…+［(n-1)x］2+(anx)2}≥［1x+2x+…+(n-1)x+anx］2,

即式①成立.

故原不等式得证.

练习册系列答案
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设命题p：函数g（x）=(a-
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)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)=lg(ax2-x+
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a)的定义域为R，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．
现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a2-b2=1，则a-b＜1；
②设
a
，
b
均为单位向量，若|
a
+
b
|＞1则θ∈[0，
2π
3
)；
③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项；
④设函数f(x)=
lg|x-1|，x≠1
0，x=1
，则关于x的方程f2（x）+2f（x）=0有4个解．
其中的真命题有
①②③
①②③
．（写出所有真命题的编号）．
（2011•武进区模拟）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式(
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)|x-1|≥a的解集为?，命题q：函数f(x)=lg(ax2+(a-2)x+
9
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)的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．
已知函数f(x)=lg(x+
a
x
-2)，其中a是大于0的常数．
（1）设g(x)=x+
a
x
，判断并证明g（x）在[
a
，+∞)内的单调性；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）在[2+∞）内的最小值；
（3）若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围．

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