Question

已知O为原点，向量

OA

=（3cosx，3sinx），

OB

=（3cosx，sinx），

OC

=（2，0），x∈(0，

π

2

)．
（1）求证：（

OA

-

OB

）⊥

OC

；
（2）求tan∠AOB的最大值及相应x值．

Answer 1

分析：（1）先求出

OA

-

OB

=(0，2sinx)，再由（

OA

-

OB

）•

OC

=0×2+2sinx×0=0可证．
（2）由tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC），根据两角差的正切公式可得答案．

解答：解：（1）∵0＜x＜

π

2

，∴3sinx＞sinx，∴

OA

-

OB

≠0
又

OA

-

OB

=(0，2sinx)
∴（

OA

-

OB

）•

OC

=0×2+2sinx×0=0
∴（

OA

-

OB

）⊥

OC

．
（2）tan∠AOC=

3sinx

3cosx

=tanx，tan∠BOC=

sinx

3cosx

=

1

3

tanx
∵

OA

-

OB

=

BA

，∴

BA

⊥

OC

，0＜∠AOB＜

π

2

．
∴tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC）
=

tan∠AOC-tan∠BOC

1+tan∠AOCtan∠BOC

=

tanx- 1 3 tanx

1+  1 3 tan2x

=

2tanx

3+tan2x

≤

2tanx

2 3tanx

=

3

3

（当tanx=

3

即x=

π

3

时取“=”）
所以tan∠AOB的最大值为

3

3

，相应的x=

π

3

点评：本题主要考查向量垂直和点乘之间的关系以及三角的正切求值问题．