Question

2．若A_n和B_n分别表示数列{a_n}和{b_n}的前n项和，对任意正整数n，a_n=-$\frac{2n+3}{2}，4{B_n}-12{A_n}$=13n
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设集合X={x|x=2a_n，n∈N^*}，Y={y|y=4b_n，n∈N^*}，若等差数列{c_n}的任意项c_n∈X∩Y，c₁是X∩Y中最大数，且-265＜c₁₀＜-125，求{c_n}的通项公式；
（3）（1+2x）ⁿ展开式中所有先给的二项式系数和为d_n，设数列{k_n}满足k_n=$\frac{{-2{a_n}-10}}{d_n}$，若不等式k_n≤2^t+a对一切n∈N^*，t∈[-5，5]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由4T_n-12S_n=13n可得4T_n-1-12S_n-1=13（n-1），两式相减，结合a_n可求b_n；
（2）由题意可得，A∩B=B，由c₁是A∩B中的最大数可得c₁=-17，d=-12k，由-265＜c₁₀＜-125可得：$-27\frac{5}{9}$＜d＜-12，从而可得等差数列{c_n}的公差d，代入求解即可；
（3）通过（1）及d_n=2ⁿ可知数列{k_n}中k₅最大且k₅=$\frac{3}{32}$，问题转化为解不等式$\frac{3}{32}$≤2^-5+a，进而可得结论．

解答 解：（1）∵4B_n-12A_n=13n，a_n=-$\frac{2n+3}{2}$，
当n=1时，4b₁-12a₁=4b₁+30=13，
∴4b₁=$-\frac{17}{4}$，
当n≥2时，4B_n-1-12A_n-1=13n-13，
作差得：4b_n-12a_n=4b_n+12n+18=13
∴4b_n=-12n-5，
∴b_n=-3n-$\frac{5}{4}$，
由n=1时，b_n=-3n-$\frac{5}{4}$=$-\frac{17}{4}$，
∴b_n=-3n-$\frac{5}{4}$，
（2）对任意n∈N^*，2a_n=-2n-3，4b_n=-12n-5=-2（6n+1）-3，
故Y⊆X，即X∩Y=Y，
∵c₁是X∩Y中最大数，
∴c₁=-17，
设数列{c_n}的公差为d，则c₁₀=-17+9d，
∵-265＜c₁₀＜-125，
∴-265＜-17+9d＜-125，
解得：$-27\frac{5}{9}$＜d＜-12，
而{4b_n}是一个以-12为公差的等差数列，
∴d=-12m（m∈N^*），
∴d=-24，
∴c_n=7-24n．
（3）依题意，d_n=2ⁿ，
∴k_n=$\frac{{-2{a_n}-10}}{d_n}$=$\frac{2n-7}{{2}^{n}}$，
令k_n+1-k_n=$\frac{2n-5}{{2}^{n+1}}$-$\frac{2n-7}{{2}^{n}}$=$\frac{9-2n}{{2}^{n+1}}$＞0，即n＜$\frac{9}{2}$，
∴当n≤4时k_n+1＞k_n，当n≥5时k_n+1＜k_n，
∴k₅最大，且k₅=$\frac{3}{32}$，
又∵不等式k_n≤2^t+a对一切n∈N^*，t∈[-5，5]恒成立，
∴$\frac{3}{32}$≤2^-5+a，即：a≥$\frac{1}{16}$．

点评 本题主要考查了数列递推公式的应用，利用构造法求数列的通项公式，解决本题还要求考生具备一定的推理的能力．注意解题方法的积累，属于中档题．