Question

定义在R上的奇函数y=f（x）为减函数，f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)+f(2-2m)＞0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：本题是利用函数的单调性将抽象不等式变为三角不等式，再由三角函数的有界性求参数m的范围，本题中为了利用函数的单调性转化不等式需要根据函数的奇偶性将原不等式变为f(sin(

π

2

-θ)+mcosθ)＞f(-2+2m)，利用单调性转化，即可求得结果．

解答：解：∵函数f（x）为奇函数又是减函数，
f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]+f(2-2m)＞0恒成立
?f[sin(

π

2

-θ)+mcosθ]＞f(-2+2m)
?sin(

π

2

-θ)+mcosθ＜2m-2即cosθ+mcosθ＜2m-2
整理得：m＞

2+cosθ

2-cosθ

恒成立，
设y=

2+cosθ

2-cosθ

，
下面只需求y=

2+cosθ

2-cosθ

的最大值，
由于y(2-cosθ)=2+cosθ，cosθ=

2y-2

y+1

⇒-1≤

2y-2

y+1

≤1，

1

3

≤y≤3
可知y的最大值=3，
∴m＞3
∴实数m的取值范围为（3，+∞）．

点评：本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查综合利用函数的奇偶性与单调性研究不等式恒成立时参数的取值范围，关键是利用函数的性质将不等式恒成立求参数的问题转化为求函数最值的问题．属中档题．