Question

已知二次函数f（x）满足f（x）-f（x-1）=-8x+12和f（0）=-3．
（1）求f（x）；
（2）分析该函数的单调性；
（3）求函数在[2，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），依题意可求得a、b、c的值；
（2）对该二次函数配方后可得f（x）=-4（x-1）²+1，从而可得该函数的单调区间；
（3）利用f（x）=-4（x-1）²+1的单调性即可求得函数在[2，3]上的最大值与最小值．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），那么f（x-1）=a（x-1）²+b（x-1）+c．
∴f（x）-f（x-1）=2ax+（b-a）=-8x+12．
由对应系数相等得方程组

2a=-8 b-a=12

，
解得：a=-4，b=8，
∴f（x）=-4x²+8x+c，
又f（0）=-3，
∴c=-3．
∴f（x）=-4x²+8x-3；
（2）∵f（x）=-4（x-1）²+1，
∴该函数的递增区间为（-∞，1]，递减区间为[1，+∞）；
（3）∵f（x）=-4（x-1）²+1在区间[2，3]上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=-3，
f（x）_min=f（3）=-15．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查二次函数的单调性与最值，属于中档题．