Question

已知函数f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx，其中ω为使f（x）能在x=

2π

3

时取得最大值的最小正整数．
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边长a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，再根据在x=

2π

3

时取得最大值可得

4πω

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，由此求得ω的最小正整数值．
（2）△ABC中，由b²=ac 以及余弦定理可得1+2cosB=

a2+c2

ac

≥

2ac

ac

=2，可得0＜B≤

π

3

，即A=(0，

π

3

]，再利用正弦函数的定义域和值域求得当x∈A时，f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，
由于f（x）能在x=

2π

3

时取得最大值，故

4πω

3

-

π

6

=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即ω=

3k+1

2

(k∈Z)，故ω的最小正整数值为2．…（5分）
（2）△ABC中，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2accosB，再由b²=ac，
可得a²+c²-2accosB=ac，化简得 1+2cosB=

a2+c2

ac

≥

2ac

ac

=2，当且仅当a=c时，取等号．
求得 cosB≥

1

2

，可得0＜B≤

π

3

，即A=(0，

π

3

]．…（8分）
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

，（0＜x≤

π

3

）
∴-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，∴sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，…（10分）
∴函数f（x）的值域是[-1，

1

2

]．…（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．