Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，它的离心率是双曲线的离心率的倒数.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，抛物线方程为，其焦点为，根据题意求得，进而根据离心率求得，即可得到椭圆的方程；

（Ⅱ）设，，，设直线的方程为，代入椭圆的方程，利用韦达定理，得，进而得到向量的坐标，根据，，即可求解的值.

详解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，抛物线方程为，其焦点为，

则椭圆的一个顶点为，即，由，

∴，所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：易求出椭圆的右焦点，

设，，，显然直线的斜率存在，

设直线的方程为，代入方程，

整理得，∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，，所以 .