题目内容

已知过点P （ $数学公式$ ，0）的直线l交圆O：x²+y²=1于A、B两点，且 $数学公式$ =2 $数学公式$ ，则△AOB的面积为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由点P （ $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，可知点B为线段PA的中点，于是 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，两端平方后可求得 $\text{[math]}$ 的值，从而可求得cos∠AOB，利用S_△AOB= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sin∠AOB即可求得其值．
解答：∵点P （ $\text{[math]}$ ，0），且 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴点B为线段PA的中点，
∴ $\text{[math]}$ ，
整理得： $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
上式两端平方后得： $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =1，
∴3=4-4• $\text{[math]}$ +1，整理得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •cos∠AOB= $\text{[math]}$ ，
∴cos∠AOB= $\text{[math]}$ ，又∠AOB为三角形AOB中的一个内角，
∴∠AOB= $\text{[math]}$ ．
S_△AOB= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sin∠AOB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，难点在于从向量的角度进行研究，解决问题的关键点在于得到 $\text{[math]}$ 之后，整理得： $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，然后两边平方，从而使解决问题之路顺畅起来，属于难题．