Question

已知定义在R上的奇函数f（x），若f（x）的导函数f'（x）满足f'（x）＜x²+1，则不等式f(x)＜

1

3

x3+x的解集为（　　）

• A．[

  1

  3

  ，+∞)
• B．[0，

  1

  3

  )
• C．（0，+∞）
• D．[-∞，3）

Answer 1

分析：根据条件构造F（x）=f(x)-

1

3

x3-x，利用导数研究函数的单调性，不等式f(x)＜

1

3

x3+x可转化成F（x）＜F（0），根据单调性即可确定结论．

解答：解：令F（x）=f(x)-

1

3

x3-x，
∵f'（x）＜x²+1，
∴F'（x）=f'（x）-x²-1＜0
∴F（x）在R上单调递减
∵R上的奇函数f（x），∴f（0）=0
∴F（0）=0
∴不等式f(x)＜

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3

x3+x可转化成F（x）＜F（0）
根据F（x）在R上单调递减，可得x＞0
故选C．

点评：本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，考查构造新函数解不等式，考查了转化思想，属于中档题．