Question

（文科）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n，n∈N^*．
（1）记b_n=a_n+n+1，求证：数列{b_n}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，记cn=

2n+2

2bn+3

，数列{c_n}的前n项和为S_n．求证：S_n＜

n+1

3

．

Answer 1

分析：（1）由已知，得出a_n+1+（n+2）=2a_n+n+n+2=2[a_n+（n+1）]，b_n+1=2b_n，判断出{b_n}是等比数列，通项公式易求．
（2）由（1）可知：cn=

2n+2

3•2n+3

=

1 3 (3×2n+3)+1

3×2n+3

=

1

3

+

1

3×2n+3

＜

1

3

+

1

3×2n

，利用分组求和以及公式法求和计算出Sn再与不等式右边比较，进行证明．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+n，
∴a_n+1+（n+2）=2a_n+n+n+2=2[a_n+（n+1）]
即b_n+1=2b_n，n∈N^*，
∴{b_n}是等比数列且首项为b₁=a₁+1+1=3，公比为2，
∴b_n=3•2^n-1
∴a_n=b_n-（n-1）=3×2^n-1-n-1．
（2）由（1）可知：cn=

2n+2

3•2n+3

=

1 3 (3×2n+3)+1

3×2n+3

=

1

3

+

1

3×2n+3

＜

1

3

+

1

3×2n

∴S_n＜

n

3

+

1 6 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

n

3

+

1

3

(1-

1

2n

)＜

n

3

+

1

3

=

n+1

3

故S_n＜

n+1

3

(n∈N*)

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列求和．考查转化、变形构造、计算、论证等能力．