Question

如下图所示，是树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成135°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的做法作图至第n层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度.

（1）求第三层及第四层树形图的高度H₃，H₄；

（2）求第n层树形图的高度H_n;

（3）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”.显然，当n=1,2时是“矮小”的，是否存在m∈Z使得当n＞m时，该树形图是“高大”的？

Answer 1

解：（1）设题中树（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为{a_n},

则a₁=1,a₂=×,a₃=,a₄=×,

所以，第三层树形图的高度H₃=a₁+a₂+a₃=

第三层树形图的高度H₄=a₁+a₂+a₃+a₄=20+.

（2）易知，所以第n层树形图的高度为?a_n=，

所以，当n为奇数时，第n层树形图的高度为

H_n=;

当n为偶数时，第n层树形图的高度为

H_n=

（3）不存在.由（2）知，当n为奇数时，H_n＜

当为偶数时，H_n＜,

由定义，此树形图永远是“矮小”的.所以不存在m∈Z，使得当n＞m时，该树形图是“高大”的.