Question

（２０分）对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.

(1). 求证：AB

(2).若，且，求实数a的取值范围.

Answer 1

证明(1).若A=φ，则AB 显然成立；……２分

若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. ……６分

    (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的实根.

        由 A≠φ，知 a=0 或      即  ……９分

  B中元素是方程  即  （*）的实根

由AB，知方程（*）左边含有一个因式，即方程可化为

       

因此，要A=B，即要方程           ①

要么没有实根，要么实根是方程          ②   的根. ……１３分

若①没有实根，则，由此解得  ……1６分

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ，代入①有 2ax+1=0.

由此解得 ,再代入②得 由此解得  .……1８分

故 a的取值范围是                             ……２０分