Question

【题目】若函数g（x）=alnx，对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】a≤﹣1
【解析】解：由题意得到：a（x﹣lnx）≤x2﹣2x．
∵x∈[1，e]，
∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＜0，
因而a≤ （x∈[1，e]）
令f（x）= ，（x∈[1，e]），
又g′（x）= ，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=﹣1，
∴a的取值范围是a≤﹣1．
所以答案是：a≤﹣1．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．