Question

已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．

(1)证明：不论m取何实数值，直线与圆C总相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及对应的弦所在的直线方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直线l的方程即x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，解方程组得即l恒过定点P(3，1)，由于(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，∴点P在圆内，此即证得不论m取何值，l与圆都相交． 　　(2)由(1)知l过P点，且与过P点的圆的半径垂直时，有最短弦长，设弦的二端点为A、B，CN⊥AB于N，由垂径定理知，此时|AB|＝2＝4．此时，k1＝，从而－＝－＝2．∴m＝－， 　　∴所求直线方程为2x－y－5＝0．