Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，则直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：根据线面垂直的判定与性质，证出AB⊥平面ACC₁A₁，得到∠BC₁A就是直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角．利用勾股定理，算出BC₁=

3

，最后在Rt△ABC₁中，算出sin∠BC₁A=

3

3

，即得直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥AA₁，
∵∠BAC=90°，即AB⊥AC，AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁，得AC₁是直线BC₁在平面内的射影
∴∠BC₁A就是直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，∴BC=

AB2+AC2

=

2

又∵Rt△BCC₁中，BC₁=

BC12+CC12

=

3

∴Rt△ABC₁中，sin∠BC₁A=

AB

BC1

=

3

3

即直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值等于

3

3

故选：C

点评：本题给出底面为等腰直角三角形，侧棱长等于底面腰长的直三棱柱，求直线与平面所成的角，着重考查了直棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和线面所成角的定义及其求法等知识，属于基础题．