Question

已知函数f（x）=log₂x-2log₂（x+c），其中c＞0．若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1，则c的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：把函数f（x）的解析式代入f（x）≤1后，利用对数式的运算性质变形，去掉对数符号后把参数c分离出来，然后利用二次函数求最值，则c的取值范围可求．
解答：由f（x）≤1，得：log₂x-2log₂（x+c）≤1，
整理得：，所以x+c≥，
即c≥（x＞0）．
令（t＞0）．
则．
令g（t）=，其对称轴为．
所以．
则c．
所以，对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤1的c的取值范围是．
故选D．
点评：本题考查了对数型的函数及其应用，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，解答的关键是利用对数函数的单调性去掉对数符号，是中档题．