Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
（1）求a₁，a₂．
（2）是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列；若存在，求出λ的值．
（3）令c_n=，若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知代入a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，即可求出a₁，a₂．
（2）假设存在实数λ，使得数列{}为等差数列，求出λ的值为1，再证明数列{}为等差数列即可．
（3）由（2）得到c_n==，若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，只需m小于数列{c_n}的最小项，即可得到实数m的取值范围．
解答：解：（1）由于数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n≥2，n∈N^*），且a₃=39，
则a₃=2a₂+2³+1，a₂=2a₁+2²+1，故a₂=15，a₁=5；
（2）若存在实数λ，使得数列{}为等差数列，
则也为等差数列，
故
解得λ=1，
由于=1
所以数列{}为等差数列，首项为，
故当λ=1时，数列{}为等差数列；
（3）由（2）知，
若令c_n=，则c_n=
由于c_n≥c_n+1等价于
即n²+4n+2=（n+2）²-2≤0无解，故恒有c_n≥c_n-1
若c_n＞m对任意的n∈N^*都成立，则必有=3=c₁＞m
则实数m的取值范围为m＜3．
点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等比数列求和公式，同时考查了分类讨论的数学思想，该题有一定的难度．