Question

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b∈R，满足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），记an=

f(2n)

2n

，bn=

f(2n)

2n

，其中n∈N^*．
考察下列结论：①f（0）=f（1）；②f（x）是R上的偶函数；③数列{a_n}为等比数列；④数列{b_n}为等差数列．
其中正确结论的序号有

①③④

．

Answer 1

分析：令a=b=0，得f（0）=0，令a=b=1，得f（1）=0．所以f（0）=f（1）．由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数．由f（2ⁿ）=n×2ⁿ，能导出an=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=2^n-1，bn=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=n．

解答：解：令a=b=0，
则f（0）=0，
令a=b=1，
则f（1）=2f（1），所以f（1）=0．
∴f（0）=f（1）．故①正确．
∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数．故②不正确．
∵

f(ab)

ab

=

f(a)

a

+

f(b)

b

，
∴

f(abc)

abc

=

f(ab)

ab

+

f(c)

c

=

f(a)

a

+

f(b)

b

+

f(c)

c

，
以此类推

f(2n)

2n

=

f(2)

2

+

f(2)

2

+…+

f(2)

2

（共n个）=n，
∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
∴an=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=2^n-1，故③正确．
bn=

f(2n)

2n

=

n×2n

2n

=n，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．