Question

已知（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数F（x）=f（x）+2^x--1的零点；
（3）设g（x）=log₄，若方程f^-1（x）=g（x）在x∈[，]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：f（0）=0，解得a=1，注意验证；
（2）把（1）的结论代入可得函数，转化为方程的根可得答案；
（3）求函数的反函数可得，由对数的运算性质可得，用换元法令m=1-x，由关于m的函数的范围可得答案．
解答：解：（1）由奇函数的定义可得：f（-x）=-f（x），
取x=0即得f（0）=0，解得a=1，2分
经验证知当a=1时，，此时满足f（x）=-f（-x），
故当a=1时，f（x）在R上的奇函数，4分
（2）由（1）知：，故F（x）=+=       6分
由（2^x）²+2^x-6=0，可得2^x=2，8分
所以x=1，即F（x）的零点为x=1．                 10分
（3）由f^-1（x）=g（x）得，11分
由对数函数的运算性质可得：      12分
显然当时k+x＞0，即     13分
设     14分
于是    15分
所以实数k的取值范围    16分．
点评：本题考查函数的奇偶性和零点，涉及对数的运算，属中档题．