Question

张明要参加某单位组织的招聘面试．面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则则被淘汰．已知张明答对每一道题的概率都为

1

2

．
（Ⅰ）求张明进入下一轮的概率；
（Ⅱ）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别求得张明答4道题进入下一轮的概率、答5道题进入下一轮的概率、答6道题进入下一轮的概率、答7道题进入下一轮的概率，相加即得所求．
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7，再求出ξ取每一个值的概率，即可求得它的概率分布列以及数学期望．

解答：解：（Ⅰ）张明答4道题进入下一轮的概率为(

1

2

)4=

1

16

；
答5道题进入下一轮的概率为

C

3 4

(

1

2

)3•

1

2

•

1

2

=

1

8

；答6道题进入下一轮的概率为

C

3 5

(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

=

5

32

；
答7道题进入下一轮的概率为

C

3 6

(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

=

5

32

；
故张明进入下一轮的概率为P=

1

16

+

1

8

+

5

32

+

5

32

=

1

2

．
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，5，6，7．
当ξ=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.P(ξ=4)=(

1

2

)4+(

1

2

)4=

1

8

；
类似有P(ξ=5)=

C

3 4

(

1

2

)3•(

1

2

)•

1

2

+

C

3 4

(

1

2

)3•(

1

2

)•

1

2

=

1

4

； P（ξ=6）=

C

3 5

(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

+

C

3 5

(

1

2

)3•(

1

2

)2•

1

2

=

5

16

；
P（ξ=7）=

C

3 6

(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

+

C

3 6

(

1

2

)3•(

1

2

)3•

1

2

=

5

16

．
于是ξ的分布列为

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

Eξ=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，离散型随机变量的概率分别及其数学期望，属于中档题．