Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且对于任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b_n=na_n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥2时，T_n＜4．

Answer 1

（本小题满分12分）
（1）点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上
∴2a_n+1+S_n-2=0即∴S_n=2-2a_n+1    ①
当n≥2时，∴S_n-1=2-2a_n     ②…（3分）
由①-②可得：a_n=2a_n+1∴

an+1

an

=

1

2

（n≥2）又a₁=1，a₂=

1

2

符合上式
数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公比的等比数列
∴an=(

1

2

)n-1                  …（6分）
（2）由（1）知b_n=na_n=n(

1

2

)n-1
∴T_n=1+2(

1

2

)1+3(

1

2

)2+4(

1

2

)3+…+n(

1

2

)n-1     …③
∴

1

2

T_n=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+4(

1

2

)4+…+n(

1

2

)n    …④
由③-④得∴Tn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1=4-

n+2

2n-1

＜4…（12分）