Question

（理）已知数列{a_n}满足an+1=an+

1

n(n+2)

，且a₁=1，则前n项和S_n=

7n

4

-

1

2

n

i=1

(

1

i

+

1

i+1

)

．

Answer 1

分析：利用“裂项求和”和“累加求和”即可得出．

解答：解：∵an+1=an+

1

n(n+2)

，
∴an+1-an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=

1

2

[(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n-2

-

1

n-1

)+…+(

1

2

-

1

4

)+(

1

1

-

1

3

)]+1
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)+1
=

7

4

-

1

2

(

1

n

+

1

n+1

)，
∴S_n=

7n

4

-

1

2

n

i=1

(

1

i

+

1

i+1

)．
故答案为

7n

4

-

1

2

n

i=1

(

1

i

+

1

i+1

)．

点评：熟练掌握“裂项求和”和“累加求和”是解题的关键．