Question

已知函数f(x)=

xlnx

x-1

-2ln(1+

x

)．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）问是否存在实数a，使得不等式f（x）＞a恒成立．若存在，则求实数a的取值范围，否则说明理由．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的定义域，由函数的解析知，解不等式组

x＞0 x-1≠0 1+ x? ＞0

解出不等式的解集，即是所求的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间，由解析式的形式知宜先对函数进行求导，再由导数解出函数f（x）的单调区间；
（3）由（2）中知函数的单调性，利用单调性求出函数f(x)=

xlnx

x-1

-2ln(1+

x

)的最小值，令参数小于此最小值，即为所求的参数的取值范围．

解答：解：（1）由f(x)=

xlnx

x-1

-2ln(1+

x

)可知x需满足：

x＞0 x-1≠0 1+ x? ＞0

，
解得x＞0且x≠1．
故f（x）的定义域为{x|x＞0且x≠1}．
（2）对f(x)求导数得到：f′(x)=

1

x(x-1)

-

lnx

(x-1)2

+

1

x(1+x 1 2 )

．令

x

=t，则x=t2，t＞0且t≠1．
∴f′(x)=

1

t2(t2-1)

-

2lnt

(t2-1)2

+

1

t2(1+t)

=

t

t2(t2-1)

-

2lnt

(t2-1)2

=

1

t(t2-1)

-

2lnt

(t2-1)2

=

1

(t2-1)2

(

t2-1

t

-2lnt)
=

1

(t2-1)2

(t-

1

t

-2lnt)
设g(t)=t-

1

t

-2lnt，
则g′(t)=1+

1

t2

-

2

t

=

t2-2t+1

t2

=(1-

1

t

)2＞0．
则g（t）＞g（1）=0（t＞1）；g（t）＜g（1）=0（0＜t＜1）．
因此：x＞1时，f'（x）＞0；0＜x＜1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．…（10分）
（3）由（2）可知f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴f(x)＞

lim

x→1

f(x)
而

lim

x→1

f(x)=

lim

x→1

[

lnx-ln

x-1

+lnx-2ln(1+

x

)]
=（lnx）|_x=1+0-2ln2=1-2ln2，
从而f（x）＞1-2ln2恒成立．
故a≤1-2ln2．…（14分）

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．本题中解析式在x=1处无解，故采取了极限的方法求出自变量在此点时的函数值．