Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pn²+qn(p、q为常数),

(1)当p和q满足什么条件时,数列{a_n}是等差数列;

(2)设b_n=a_n+1－a_n,求证:对任意实数p、q,数列{b_n}都是等差数列.

Answer 1

(1)解:设数列{a_n}是等差数列,则a_n+1－a_n=［p(n+1)²+q(n+1)］－(pn²+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以有2p=0,即p=0,q∈R.

(2)证明:因为a_n+1－a_n=［p(n+1)²+q(n+1)］－(pn²+qn)=2pn+p+q,a_n+2－a_n+1=2p(n+1)+p+q,

所以b_n+1－b_n=(a_n+2－a_n+1)－(a_n+1－a_n)=［2p(n+1)+p+q］－(2pn+p+q)=2p(常数).

所以数列{b_n}是等差数列.

点评:等差数列定义的数学符号语言可表述为:在数列{a_n}中,若a_n+1－a_n=d(常数)对于任意的n∈N^*都成立,则数列{a_n}为等差数列,与a_n+1－a_n=d(n∈N^*)等价的式子还有a_n－a_n－1=d

(n≥2,n∈N^*),a_n－1－a_n－2=d(n≥3,n∈N^*),…,总之,只要能表示从差a₂－a₁开始,以及以后的差a₃－a₂,a₄－a₃,…都等于同一个常数即可.因此,证明数列{a_n}是否是等差数列,只需要证明以上等价表达式中其中之一成立即可.但a_n+2－a_n=d(n∈N^*)成立,不能说明数列{a_n}为等差数列,只能说这个数列从第2项起(即去掉第一项后)是一等差数列.如果要说明数列{a_n}不是等差数列,那么只需说明某两个差a_m+1－a_m与a_n+1－a_n(m≠n)不相等(即不等同一个常数)即可,或者证明a_n+1－a_n是与n有关的表达式.