题目内容

已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x．

(1)求f(x)；

(2)求f(x)在区间[－1，1]上的最大值和最小值．

答案：
解析：

　　解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，

　　由f(0)＝1，可知c＝1．

　　而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b．

　　由f(x＋1)－f(x)＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0．

　　因而a＝1，b＝－1．

　　故f(x)＝x2－x＋1．

　　(2)∵f(x)＝x2－x＋1＝(x)2＋，

　　∴当x∈[－1，1]时，f(x)的最小值是f()＝，f(x)的最大值是f(－1)＝3．


提示：

(1)由于已知f(x)是二次函数，用待定系数法求f(x)；(2)结合二次函数的图像，写出最值．


练习册系列答案
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+
1
2
满足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
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-x有等根
（1）求f（x）的表达式；
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数y=f(x)+
2
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x-1的图象过原点且关于y轴对称，记函数 h(x)=
x
f(x)．
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（Ⅱ）当a=
1
10
时，求函数y=h(x)的单调递减区间；
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
已知二次函数f(x)=
-x2-x+2
的定义域为A，若对任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，则实数k的最小值为
3
3
．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．

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