Question

设数列的前项和为，，．证明：数列是公比为的等比数列的充要条件是．

Answer 1

证明见解析

解析试题分析：要解决这个问题,首先要分清楚必要性和充分性.
由数列的前项和为，，,数列是公比为的等比数列 ．
说明:“数列是公比为的等比数列”的必要条件是：“”
由“数列的前项和”“数列是等比数列”
说明“数列是公比为的等比数列”的充分条件是：“”
前者其实就是等比数列前项和公式推导过程的一部分；后者由求出的表达式 ，再紧扣等比数列的定义得出结论.
试题解析：证明：(1)必要性：
∵数列是公比为的等比数列
∴
      ①          2分
①式两边同乘，得
     ②           4分
①-②，得
                               6分
∵
∴                                  7分
(2)充分性：
由，得           8分
∴
即                               10分
∵也适合上式
∴                                       12分
∵
∴当时，
∴数列是公比为的等比数列                    14分
考点：1、充要条件的概念；2、等比数列的定义；3、在数列中 与的关系.