Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，其中a＞0，曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
（1）确定b，c的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），证明：当x₁≠x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂）；
（3）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求得f（0）=c，由f′（x）求得f′（0）=b；再由切线方程为y=1，得出b、c的值．
（2）由y=f（x）的切线过点（0，2），写出切线方程，用反证法可以证明该方程满足题目中的条件．
（3）过点（0，2）作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，等价于函数满足某些条件，利用导数有解函数，得出a的取值．

解答：解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²+bx+c，
∴f（0）=c，f′（x）=x²-ax+b，f′（0）=b；
又∵y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，
∴f（0）=1，f′（0）=0．
∴b=0，c=1．
（2）∵b=0，c=1时，f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+1，f′(x)=x2-ax．由于点(t，f(t))处的切线方程为
y-f（t）=f'（t）（x-t），而点（0，2）在切线上，
∴2-f（t）=f'（t）（-t），
化简得

2

3

t3-

a

2

t2+1=0，即t满足的方程为

2

3

t3-

a

2

t2+1=0．
下面用反证法证明．
假设f'（x₁）=f'（x₂），由于曲线y=f（x）在点（x₁，f（x₁））及（x₂，f（x₂））处的切线都过点（0，2），
则下列等式成立：

2 3 x13- a 2 x12+1=0① 2 3 x23- a 2 x22+1=0② x12-ax1=x22-ax2③

；
由③得x₁+x₂=a，
由①-②得x12+x₁x₂+x22=

3

4

a²④；
又x12+x₁x₂+x22=(x1+x2)2-x₁x₂=a²-x₁（a-x₁）=x12-ax₁+a²=(x1-

a

2

)2+

3

4

a²≥

3

4

a²
∴由④得x₁=

a

2

，此时x₂=

a

2

，这与x₁≠x₂矛盾，∴f′（x₁）≠f′（x₂）．
（3）由（2）知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三个相异的实根，
即等价于方程

2

3

t3-

a

2

t2+1=0有三个相异的实根；
设g（t）=

2

3

t³-

a

2

t²+1，
∴g′（t）=2t²-at=2t（t-

a

2

）；
∵a＞0，∴有

t	（-∞，0）	0	(0， a 2 )	a 2	( a 2 ，+∞)
g'（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	极大值1	↘	极小值1- a3 24	↗

由g（t）的单调性知：要使g（t）=0有三个相异的实根，当且仅当1-

a3

24

＜0，
即a＞2

3	3

．
∴a的取值范围是(2

3	3

，+∞)．

点评：本题考查了函数的单调性、极值、导数等基本知识，也考查了综合运用数学知识进行推理论证的能力．