题目内容

已知| $数学公式$ |=1，| $数学公式$ |= $数学公式$ ， $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为θ．
（1）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求 $数学公式$ • $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ - $数学公式$ 与 $数学公式$ 垂直，求θ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，∴a与b的夹角θ=0或π，
∴当θ=0时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosθ=1× $\text{[math]}$ ×cos0= $\text{[math]}$ ；
当θ=π时， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosθ=1× $\text{[math]}$ ×cosπ=- $\text{[math]}$
综上所述，得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）∵（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）⊥ $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ ²- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
∵ $\text{[math]}$ ²=| $\text{[math]}$ |²=1， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosθ=1× $\text{[math]}$ cosθ= $\text{[math]}$ cosθ
∴1- $\text{[math]}$ cosθ=0，解之得cosθ= $\text{[math]}$ ．
∵向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角θ的范围是[0，π]，
∴θ= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）平行向量的夹角为0或π，由此进行讨论，并结合向量数量积公式即可算出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值；
（2）垂直的两个向量的数量积为0，由此列式并结合题中模的数据可得1- $\text{[math]}$ cosθ=0，解之得cosθ= $\text{[math]}$ ．最后根据向量夹角范围，结合特殊角的余弦值可得角θ的大小．
点评：本题给出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的模，在已知 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直的情况下求它们的夹角θ的大小．着重考查了平面向量数量积运算公式、向量模的性质和向量的夹角求法等知识，属于基础题．