Question

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用导数法判断函数的单调性；
（2）首先把函数解析式变形，
再借用对数函数值域和基本不等式求出x≤0时f（x）的值域，
最后利用奇函数图象关于原点对称的性质求出x≥0时的值域，进而问题解决．

解答：（1）答：函数y=f（x）在（-∝，0）上是增函数．
证明：f′（x）=(

3x

9x+1

)′-(

1

2

)′=

3xln3(9x+1)-3x•9x•2ln3

(9x+1)2

=

3xln3(1-9x)

(9x+1)2

其中3^x＞0，ln3＞0，且x＜0时，0＜9^x＜1，
所以f′（x）＞0，
所以函数y=f（x）在（-∝，0）上是增函数．
（2）解：当x≤0时，f(x)= 

3x

9x+1

-

1

2

= 

3x

32x+1

-

1

2

=

1

3x+ 1 3x

-

1

2

因为3x+

1

3x

≥2，则3x+

1

3x

∈[2，+∞），
所以f（x）在（-∞，0]上的值域是（-

1

2

，0]，
又f（x）是R上的奇函数，
所以f（x）在[0，+∞）上的值域是[0，

1

2

），
故y=f（x）在R上的值域是(-

1

2

，

1

2

)．

点评：本题主要考查导数法判断函数的单调性和奇函数的图象特征，同时考查对数函数的值域及基本不等式．