Question

如图，已知正四面ABCD中，AE=

1

4

AB，CF=

1

4

CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为

 

Answer 1

分析：设正四面体的棱长等于1，设向量

DA

=

a

，

DB

=

b

，

DC

=

c

，将向量

DE

、

BF

表示为向量

a

，

b

，

c

的线性组合，利用正四面体的性质、向量的加减与数量积运算法则，算出cos＜

DE

，

BF

＞=-

4

13

，结合异面直线所成角的定义即可得出直线DE和BF所成的角的余弦值．

解答：解：正四面ABCD中，设向量

DA

=

a

，

DB

=

b

，

DC

=

c

，
则向量

a

，

b

，

c

两两夹角为60°，
设正四面体的棱长等于1，
则

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=cos60°=

1

2

，
∵△ABD中，AE=

1

4

AB，
∴

DE

=

3

4

DA

+

1

4

DB

=

3

4

a

+

1

4

b

，
同理由CF=

1

4

CD，可得

BF

=

DF

-

DB

=-

b

+

3

4

c

，
∴

|DE|

=

( 3 4 a + 1 4 b )2

=

9 16 a 2+ 3 8 a • b + 1 16 b 2

=

9 16 + 3 16 + 1 16

=

13

4

，
同理可得

|BF|

=

(- b + 3 4 c )2

=

13

4

，
∵

DE

•

BF

=(

3

4

a

+

1

4

b

)•(-

b

+

3

4

c

)=-

3

4

a

•

b

+

9

16

a

•

c

-

1

4

b

2+

3

16

b

•

c

=-

1

4

∴cos＜

DE

，

BF

＞=

DE • BF

|DE| • |BF|

=

- 1 4

13 4 × 13 4

=-

4

13

，
结合异面直线DE和BF所成的角为锐角或直角，
可得直线DE和BF所成的角的余弦值为-cos＜

DE

，

BF

＞=

4

13

．
故答案为：

4

13

点评：本题在正四面体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正四面体的性质、向量的加减与数量积运算、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．