Question

设a＞0，函数f（x）＝-ax在[1，＋∞）上是单调函数．

（1）求实数a的取值范围；

（2）设≥1，f（x）≥1，且f（f（））＝，求证：f（）＝．

Answer 1

（1）a的取值范围是（0，3．

　　（2）证明见解析

解析:

（1）任取、[1，＋∞]且＜，则

　　．

　　∵　，∴　．

　　显然，不存在一个常数a，使得恒为负数．

　　∵　f（x）有确定的单调性，　∴　必存在一个常数a，使恒为正数，即．

　　∴　a≤3，这时有f（）＞f（）．　∴　f（x）在[1，＋∞上是增函数，故a的取值范围是（0，3．

　　（2）设f（）＝u，则f（u）＝，于是

　　则，　即　．

　　∵　，，　，

又∵　，∴　．　∴　，即，故．