Question

已知函数f（x）=1nx﹣ax．

（Ⅰ）若f（x）的最大值为1，求a的值；

（Ⅱ）设l是函数f（x）=1nx﹣ax图象上任意一点的切线，证明：函数f（x）=1nx﹣ax的图象除该点外恒在直线l的下方．

Answer 1

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．

专题：

压轴题；导数的综合应用．

分析：

（Ⅰ）先求出导数，对a分类讨论即可得出；

（Ⅱ）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程g（x）=0，构造函数h（x）=g（x）﹣f（x），利用导数证明h（x）的最小值≥0即可．

解答：

解：（Ⅰ）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵，①当a≤0时，f^′（x）≥0，∴函数f（x）单调递增，因此函数在（0，+∞）上无最大值，不符合题意，应舍去；

②当a＞0时，，令f^′（x）=0，则．

当时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

∴当时，函数f（x）取得极大值，也即最大值．

∴=1，即，解得．

（Ⅱ）设P（x₀，lnx₀﹣ax₀）是曲线f（x）=lnx﹣ax的图象上的任意一点，则过点P的切线的斜率为，

∴切线为，化为y=g（x）=，

令h（x）=g（x）﹣f（x）=﹣（lnx﹣ax），

∴h^′（x）==，令h^′（x）=0，解得x=x₀．

当0＜x＜x₀时，h^′（x）＜0，函数h（x）单调递减；当x＞x₀时，h^′（x）＞0，函数h（x）单调递增．

因此当x=x₀时，函数h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（x₀）==0，

∴g（x）≥f（x），函数f（x）=1nx﹣ax的图象除切点外恒在直线l的下方．

点评：

熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值等性质、分类讨论的思想方法是解题的关键．