题目内容
已知椭圆
=1(a＞b＞0),F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，θ=∠F1PF2，求θ的最大值及θ取得最大值时P点的坐标.
解:设P(x,y)，则=
(c=
).
∴|PF1|=a+
x.同理|PF2|=a－
x.
在△F1PF2中，cosθ=
=
=
－1
=
－1
=
－1.
∵－a≤x≤a,
∴0≤x2≤a2.
∴当x=0时，cosθ=
－1最小.
∵t=cosθ在［0，π］上是减函数，
∴θ=arccos (
－1)最大，此时P点的坐标为(0，±b).
点评:利用椭圆的第二定义可把椭圆上的点P到焦点的距离转化为以P点的横坐标(或纵坐标)为自变量的一次函数的函数值.本例的解法把θ的余弦表示为x的函数，根据x的范围求得了θ的最大值.例题的结论说明了椭圆的短轴端点对两焦点的张角最大.
练习册系列答案
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=1(a＞b＞0)与x轴的正半轴交于点A,O是原点.若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率e的取值范围.
+
=1(a＞b＞0)与双曲线
-
=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )
B.
C.
D.
+
=1(a＞b＞0)内有一点A,F1为左焦点,F2为右焦点,在椭圆上求一点P,使|PF1|+|PA|取得最值.
+
=1 (a>b>0)的左焦点到右准线的距离为
,中心到准线的距离为
，则椭圆的方程为__________.
+
=1 (a>b>0)的两准线间的距离为
，离心率为
，则椭圆的方程为( )
+
=1 B. 
+
=1 D. 
=1