Question

设函数f(x)=

2x+1

x2+2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

，
当x∈（-2，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0．
故f（x）在（-2，1）单调增加，在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少．
f（x）的极小值f(-2)=-

1

2

，极大值f（1）=1．
（Ⅱ）由(f(x)+

1

2

)(f(1)-1)=

-(x+2)2(x-1)2

2(x2+2)2

知(f(x)+

1

2

)(f(1)-1)≤0，
即-

1

2

≤f(x)≤1．
由此及（Ⅰ）知f（x）的最大值为1，最小值为-

1

2

．
因此对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是

-3≤- 1 2 a+b≤3 -3≤a+b≤3

即a，b满足约束条件

a+b≥-3 a+b≤3 - 1 2 a+b≥-3 - 1 2 a+b≤3.

，
由线性规划得，a-b的最大值为5．