题目内容

已知函数 $数学公式$ ，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求b，x₁及x₂的值．

解：设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．
由F'（x）=0得x=0或x= $\text{[math]}$ ．这样，必须且只须F（0）=0或F（ $\text{[math]}$ ）=0，因为F（0）=1，故必有F（ $\text{[math]}$ ）=0，由此得b= $\text{[math]}$ ．
不妨设x₁＜x₂，则x₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以 F（x）=（x-x₁） $\text{[math]}$ ，比较系数得- $\text{[math]}$ =1，故x₁=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
故b= $\text{[math]}$ ，x₁=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：构造函数设F（x）=x³-bx²+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，可知其有且仅有两个不同零点x₁，x₂．利用函数与导数知识求解．
点评：本题考查的是函数图象，但若直接利用图象其实不易判断，为此利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题的能力．题目立意较高，很好的考查能力．