Question

在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，∠， ，平面⊥平面.

（1）求证：⊥平面；
（2）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；
（3）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）因为 ，所以.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（Ⅱ） ；（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时.

试题分析：（Ⅰ）证明：因为 ，
所以 .                        ………………………………………1分
因为 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面.                  ………………………………………3分
（Ⅱ）解：取的中点，连接.
因为，
所以 .
因为 平面平面，平面平面，平面，
所以 平面.                ………………………………………4分
如图，

以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直
线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由
直角梯形中可得，，
.
所以 ，.
设平面的法向量.
因为
所以
即
令，则.
所以 .                 ………………………………………7分
取平面的一个法向量n.
所以 .
所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.
………………………………………9分
（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时. 理由如下：…………10分
取的中点，连接，，.
则 ∥，.

因为 ，
所以 .
因为 ∥，
所以 四边形是平行四边形.
所以 ∥.
因为 ，
所以 平面∥平面.           ………………………………………13分
因为 平面，
所以 ∥平面.               ………………………………………14分
点评：本题主要考查线面关系的判定及二面角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，对于立体几何问题的证明问题，要求我们熟练应用课本上的定理、性质、结论等，要求会用几何法和向量法两种方法求解