Question

已知函数f（x）=

lnx

x

．
（1）求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（2）若方程f（x）-t=0在[

1

e

，e2]上有两个不同的解，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知中的函数解析式，求出导函数的解析式，将x=1代入求出切点坐标及切线的斜率（导函数值），进而求出切线方程；
（2）方程f（x）-t=0在[

1

e

，e2]上有两个不同的解，即函数y=f（x），y=t在[

1

e

，e2]上有两个不同的交点，分析出函数的极大值，及区间两个端点的值，可得 t的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

lnx

x

∴f（1）=0
又∵f′（x）=

1-lnx

x2

∴f′（1）=1
∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0
（2）方程f（x）-t=0在[

1

e

，e2]上有两个不同的解，
则函数y=f（x），y=t在[

1

e

，e2]上有两个不同的交点
由f′（x）=

1-lnx

x2

＞0得0＜x＜e
由f′（x）=

1-lnx

x2

＜0得x＞e
∴当x=e时，y=f（x）有极大值f（e）=

1

e

，
又∵f（

1

e

）=-e，f（e²）=

2

e2

，且

2

e2

＞-e，
∴t的取值范围是[

2

e2

，

1

e

）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线在某点的切线方程，函数的零点，是函数导函数与函数零点的综合应用，难度中档．