Question

在平面直角坐标系xOy中，记不等式组

x+y≥0 x-y≤0 x2+y2≤2

所表示的平面区域为D．在映射T：

u=x+y v=x-y

的作用下，区域D内的点（x，y）对应的象为点（u，v）．
（1）在映射T的作用下，点（2，0）的原象是

 

；
（2）由点（u，v）所形成的平面区域的面积为

 

．

Answer 1

分析：（1）直接由方程组

x+y=2 x-y=0

求解在映射T的作用下，点（2，0）的原象；
（2）由

u=x+y v=x-y

，得

x= u+v 2 y= u-v 2

．代入原线性约束条件求关于u、v的约束条件，作出可行域，则点（u，v）所形成的平面区域的面积可求．

解答：解：不等式组

x+y≥0 x-y≤0 x2+y2≤2

所表示的平面区域D如图，

（1）由

x+y=2 x-y=0

，解得：

x=1 y=1

．
∴在映射T的作用下，点（2，0）的原象是（1，1）．
（2）由

u=x+y v=x-y

，得

x= u+v 2 y= u-v 2

．
代入不等式组

x+y≥0 x-y≤0 x2+y2≤2

，得

u≥0 v≤0 u2+v2≤4

．
可行域如图，

∴点（u，v）所形成的平面区域的面积为

1

4

×4π=π．
故答案为：（1）（1，1）；（2）4π．

点评：本题考查了映射的概念，考查了线性规划问题，训练了数形结合的解题思想方法，属中档题．