题目内容

19、若函数f（x）的图象关于原点对称，且在（0，+∞）上是增函数，f（-3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是
（-3，0）∪（0，3）
．
分析：本题考查的是函数的单调性和不等式的解集问题．在解答时，首先应根据条件中函数的性质画出函数的大致图象，集合图象即可读出不等式的解集，注意分类讨论在解题中的应用．
解答：解：由题意可知：函数为奇函数且f（3）=0，所以函数f（x）的大致图象为：
当x＞0时，f（x）＜0，∴0＜x＜3；
当x＜0时，f（x）＞0，∴-3＜x＜0．
综上可知：不等式xf（x）＜0的解集是：（-3，0）∪（0，3）．
故答案为：（-3，0）∪（0，3）．
点评：本题考查的是函数的单调性和不等式的解集问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、对称变换的思想以及不等式的解答的规律．值得同学们体会和反思．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=cosωx(
3
sinωx+cosωx)，其中0＜ω＜2．（I）若f（x）的周期为π，当-
π
6
≤x≤
π
3
时，求f(x)的值域；（II）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=
π
3
，求ω的值．
已知向量
b
=(m，sin2x)，
c
=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=
b
•
c
，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和(
π
4
，1)．
（I）求m、n的值；
（II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，
π
4
]上的最小值；
（III）当f(
α
2
)=
1
5
，α∈[0，π]时，求sinα的值．
若函数y=f（x+2）的图象过点P（-1，3），则若函数f（x）的图象一定过定点
（1，3）
（1，3）
．
（2011•佛山二模）（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
①1-
x
y
＜lny-lnx＜
y
x
-1(0＜x＜y)；
②
n
k-2
1
k
＜lnn＜
n-1
k-1
1
k
(n＞1)．
（2）设f（x）=xn（n∈N*）．若对任意的实数x，y，f（x）-f（y）=f′（
x+y
2
）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．
已知函数f（x）=x3-x2+ax+b
（I）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间：
（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，1）且极小值点在区间（1，2）内，求实数b的取值范围．

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