Question

已知点P_n（a_n，b_n）满足an+1=anbn+1，bn+1=

bn

1- a 2 n

，且P0(

1

3

，

2

3

)(n∈N)．
（1）求点P₁坐标，并写出过点P₀，P₁的直线L的方程；
（2）猜测点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（3）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式（n∈N^*）．

Answer 1

分析：解：（1）由a0=

1

3

，b0=

2

3

得a1=

1

4

，b1=

3

4

，得P₁坐标为（

1

4

，

3

4

），最后写出直线L的方程即可；
（2）由条件得出点P₂∈L，猜想点P_n（n≥2，n∈N）在直线L上．再利用用数学归纳法证明．
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，得出a_n+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

(an≠0)从而得出

1

an+1

=

1

an

+1故有：{

1

an

}是等差数列，最后根据等差数列的通项公式即可求得数列{a_n}与{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）由a0=

1

3

，b0=

2

3

得a1=

1

4

，b1=

3

4

，得P₁坐标为（

1

4

，

3

4

）（2分）
显然直线L的方程为x+y=1（4分）
（2）由a1=

1

4

，b1=

3

4

得a2=

1

5

，b2=

4

5

，∴点P₂∈L，
猜想点P_n（n≥2，n∈N）在直线L上，（6分）
以下用数学归纳法证明：
当n=2时，点P₂∈L
当n=k（k≥2）时，点P_k∈L，即a_k+b_k=1，
则当n=k+1时，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=(1+ak)•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=1，
∴点P_k+1∈L∴点P_n∈L（n≥2）（11分）
（3）由a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=

bn

1- a 2 n

，a_n+b_n=1
得a_n+1=an

bn

1- a 2 n

=an

1-an

1- a 2 n

=

an

1+an

(an≠0)
∴

1

an+1

=

1

an

+1（14分）
∴{

1

an

}是等差数列，∴

1

an

=

1

a0

+n=n+3，
∴an=

1

n+3

，bn=

n+2

n+3

（18分）

点评：本题考查直线的一般式方程、数列递推式、数列和解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．