题目内容

已知函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足 $数学公式$ ．若存在x₀∈[1，2]使得不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0成立，则实数m的取值范围是

A.
[-5，+∞）
B.
[- $数学公式$ ，+∞）
C.
（-∞，-17]
D.
（-∞，-15]

B
分析：先由 $\text{[math]}$ 解出a=1得 f（x）=2^x+2^-|x|，代入不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0，由于存在x₀∈[1，2]使不等式成立，故整理得-m≤ $\text{[math]}$ ，让-m小于等于 $\text{[math]}$ 在∈[1，2]上的最大值即可解出实数m的取值范围．
解答：由题设函数f（x）=2^x+a•2^-|x|（a∈R）满足 $\text{[math]}$ ．
得 $\text{[math]}$ +a× $\text{[math]}$ =2 ①
∵ $\text{[math]}$ ＞0
∴①式可变为 $\text{[math]}$ +a× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +a（ $\text{[math]}$ ）=2
故有1+a+ $\text{[math]}$ （1-a）=2，a（1- $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ ，解得a=1
所以 f（x）=2^x+2^-|x|当存在x₀∈[1，2]时，使不等式2^xf（2x）+mf（x）≥0恒成立，即2^3x+2^-x+m（2^x+2^-x）≥0成立，
即2^4x+1+m（2^2x+1）≥0成立，即-m≤ $\text{[math]}$ =2^2x+1-2+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
故m≥- $\text{[math]}$
故应选B．
点评：本题考点是指数函数的综合题，考查复杂指数式的恒等变形与复杂指数方程的变形，运算量较大，由于本题最后解决的是存在性的问题，要区分开其与恒成立问题的区别．