Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞O），椭圆C焦距为：2c，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．
（I）求椭圆c的方程；
（II）设点P（-

a2

c

，0），过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可求几何量，从而可得椭圆的方程；
（II）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，进而利用直线F₁B₂，F₁B₁的方程，可得G在正方形Q内（包括边界）的充要条件，由此可得直线l斜率的取值范围．

解答：解：（I）由题设知，a²=8，b=c，∴b2=

1

2

a2=4
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）点P的坐标为（-4，0），设直线l的方程为y=k（x+4）
如图，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为G（x₀，y₀），
y=k（x+4）代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，可得-

2

2

＜k＜

2

2

又x₁+x₂=-

16k2

1+2k2

，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

∵x₀=-

8k2

1+2k2

≤0，
∴G不可能在y轴的右边
又直线F₁B₂，F₁B₁的方程分别为y=x+2，y=-x-2，所以G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

，解得-

3 -1

2

≤k≤

3 +1

2

，满足-

2

2

＜k＜

2

2

故直线l斜率的取值范围是[-

3 -1

2

，

3 +1

2

]．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．