Question

设x，y满足约束条件

x≥0 y≥0 x 3a + y 4a ≤1

，若目标函数z=

y+3

x

的最小值为1，则a的值为

 

．

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，设z=

y+3

x

，再利用z的几何意义求最值，z=

y+3

x

表示的是区域内的点与点P连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最小值．只需求出直线PQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值列出等式求出a即可．

解答：解：作出可行域如图阴影部分所示：
目标函数z=

y+3

x

可以认为是点（0，-3）与可行域内一点（x，y）连线PQ的斜率．
因此z=

y+3

x

的最小值为直线OA的斜率，
而B（3a，0），∴k_PA=1?a=1．
∴a的值为1．
故答案为：1．

点评：巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．