Question

抛物线的顶点在原点，焦点在射线x-y+1=0（x≥0）上
（1）求抛物线的标准方程
（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出

FC • FD

FM 2

的值．

Answer 1

分析：（1）先射线x-y+1=0（x≥0）与坐标轴的交点解得焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的标准方程．
（2）设AB的直线方程y=kx+1，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标运算公式即可求出

FC • FD

FM 2

的值，从而解决问题．

解答：解：（1）∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，
∴令x=0，代入射线x-y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）
当焦点为（0，1）时，可知P=2，∴其方程为x²=4y．
（2）设A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x2

4

2)
过抛物线A，B两点的切线方程分别是y=

x1

2

x-

1

4

x12，y=

x2

2

x-

x2

4

2
其交点坐标M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
设AB的直线方程y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x1x2=-4，M(

x1+x2

2

，-1)，所以点M的轨迹为y=-1
∵

FC

=(x1，

x 2 1

4

-1)，

FD

=(x2，

x 2 2

4

-1)
∴

FC

•

FD

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)-2
而

FM2

=(

x1+x2

2

-0)2+(-1-1)2=

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)+2
∴

FC • FD

FM 2

=-1．

点评：本题主要考查平面向量数量积的运算、抛物线的标准方程．抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点，即先确定焦点的坐标再求出标准方程．