Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）在曲线C1：

x2

9

+

y2

4

=1上找一点P，使得点P到曲线C2：

x=-8+t y= t 2

（t为参数）的距离d最小，求出最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：把曲线C₂的参数方程化为普通方程为 x-2y+8=0，表示一条直线，在曲线C₁找一点P（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式求得点P到曲线C2：

x=-8+t y= t 2

的距离d=

|5sin(∅+θ)+8|

5

，其中，sin∅=

3

5

，cos∅=

-4

5

，当且仅当∅+θ=2kπ-

π

2

时，d取得最小值为

3 5

5

，此时，θ=2kπ-

π

2

-∅，求得 cosθ 和 sinθ的值，即得点P的坐标．

解答：解：曲线C2：

x=-8+t y= t 2

（t为参数）的普通方程为 x-2y+8=0，在曲线C1：

x2

9

+

y2

4

=1上找一点P（3cosθ，2sinθ），
点P到曲线C2：

x=-8+t y= t 2

（t为参数）的距离d=

|3cosθ-4sinθ+8|

1+4

=

|5sin(∅+θ)+8|

5

≥

|-5+8|

5

=

3 5

5

，
sin∅=

3

5

，cos∅=

-4

5

，当且仅当∅+θ=2kπ-

π

2

 时，等号成立，故d最小值为

3 5

5

．
此时，θ=2kπ-

π

2

-∅，∴cosθ=cos （2kπ-

π

2

-∅）=-sin∅=-

3

5

，sinθ=sin（2kπ-

π

2

-∅）=-sin（

π

2

+∅）=-cos∅=

4

5

．
故点P（-

9

5

，

8

5

）．
综上，d最小值为

3 5

5

，此时点P的坐标为（-

9

5

，

8

5

）．

点评：题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和椭圆的位置关系的应用，属于中档题．