Question

已知函数f（x）=

ax+b

x2+1

，g（x）=sinx-

2

π

x（其中常数a，b∈R，π是圆周率）．
（I）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；
（II）求函数f（x）的单调递增区间；
（III）当b=0，a∈（

π

2

，π]时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

Answer 1

分析：（I）根据所给的函数是一个奇函数，写出奇函数成立的等式，整理出b的值是0，得到函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，求出极值点．
（II）要求函数的单调增区间，首先对函数求导，使得导函数大于0，解不等式，注意不等式大于0相当于分子大于0，问题转化为一元二次不等式的解，针对于a和b的值进行讨论．
（III）先对于函数求导，根据函数的单调性看出函数的最值在x=0取到，写出函数的最小值，得到恒成立的问题成立时，存在a的值．

解答：解：（I）∵函数f（x）是奇函数，有f（-x）=-f（x）成立，
即

-x+b

x2+1

=-

x+b

x2+1

∴b=0，
∴f（x）=

1

x2+1

，
∴f^′（x）=0时，x=±1，
∴经检验x=±1是函数的极值点．
（II）∵函数f（x）=

ax+b

x2+1

，
∴f′(x)=

a(x2+1)-2x(ax+b)

(x2+1)2

=

-ax2-2bx+a

(x2+1)2

从f^′（x）＞0，
得ax²+2bx-a＜0，
当a=0，b=0时，不存在递增区间，
当a=0，b≠0时，
b＞0时，递增区间是（-∞，0）
b＜0，递增区间是（0，+∞）
当a＞0，单调递增区间是[

-b- a2-b2

a

，

-b+ a2-b2

a

]
当a＜0，单调递增区间是（-∞，

-b+ a2+b2

a

]和[

-b- a2+b2

a

，+∞）
（III）∵g′(x)=cosx-

2

π

，
令g^′（x）=0，得cosx=

2

π

，
当x变化时，g（x）先增后减，
∴函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a）=g（0），
即存在满足条件的实数a=0，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

点评：本题考查函数的综合题目，是一个以考查函数的单调性和最值为主的题目，解题过程中要用到一元二次不等式的解法，并且针对于一元二次不等式的字母系数的讨论要注意．