Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（-3，4），求实数a，b的值；
（2）若a为整数，b=a+2，且函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值．

Answer 1

分析：（1）直接根据f（x）＞0的解集是（-3，4），得到方程ax²-bx+1=0的两根是x₁=-3，x₂=4；再结合韦达定理即可求出实数a，b的值；
（2）先根据b=a+2得出，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立；进而得到f（x）=ax²-bx+1必有两个零点；再结合函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点的对应结论f（-2）f（-1）＜0即可求出a的值．

解答：解：（1）若不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-3，4），
则方程ax²-bx+1=0的两根是x₁=-3，x₂=4，
所以

1

a

=x1x2=-12，

b

a

=x1+x2=1，
所以a=-

1

12

，b=-

1

12

．
（2）因为b=a+2，
所以f（x）=ax²-（a+2）x+1，△=（a+2）²-4a=a²+4＞0恒成立，
所以f（x）=ax²-bx+1必有两个零点，
又因为函数f（x）在（-2，-1）上恰有一个零点，
所以f（-2）f（-1）＜0即（6a+5）（2a+3）＜0，
解得     -

3

2

＜a＜-

5

6

，
又a∈Z，
∴a=-1

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法以及函数零点的判定定理．熟练掌握一元二次不等式的解集的形式与系数的关系是解答本题的关键．