Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．
根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF． （6分）

（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，
设AB的长为1，则

BD

=（-1，2，0），

BE

=（0，1

k

2

）
设平面CDB的法向量为

.

m1

=(0，0，1)，平面EDB的法向量为

.

m2

=(x，y，z)，
则

. m2 • . BD =0 . m2 • . BE =0

∴

-x+2y=0 y+ kz 2 =0

，取y=1，可得m2=(2，1，-

2

k

)
设二面角E-BD-C的大小为θ，
则cosθ=|cos＜m₁，m₂＞|═

2 k

22+1+ 4 k2

＜

2

2

化简得k2＞

4

5

，则k＞

2 5

5

．（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．